Magic Square, No Center

[Albert Chan]

Here is my answer to the puzzle.

Code:



*** Spoiler Alert ***

Four sides of square:

S = A + B + C
S = E + D + C
S = E + F + G
S = A + H + G

A + B + C + D + E + F + G + H = sum(1 to 8) = 9 * 4 = 36

4*S = 36 + A+C+E+G
    = (36 + 1+2+3+4) to (36 + 5+6+7+8)
    = 46 to 62
    = 48 to 60
  S = 12, 13, 14, 15

Center digits = 36 / 8 = 4.5 (not an integer!)

No sum will get exactly to the center
-> 9-Complement Symmetry guaranteed unique solutions.
-> We only need to solve S <= center = 3 * 4.5 = 13.5

Symmetries                              DERIVE SOLUTIONS
==========                              ================
9-Complement => S = 12, 13              99999999 - ABCDEFGH
Rotation     => A = smallest corner     GHABCDEF, EFGHABCD, CDEFGHAB
Flip Square  => C < G                   AHGFEDCB (flip on AE diagonal)

Each primary solution thus represent 2 * 4 * 2 = 16 solutions

A+C+E+G is a bit too many permutations to work with, so change it:

4*S = 36 + A+C + E+G = 36 + (S-B) + (S-F)
2*S = 36 - B - F
B+F = 36 - 2*S

4*S = 36 + C+E + G+A = 36 + (S-D) + (S-H)
2*S = 36 - D - H
D+H = 36 - 2*S

When S = 12, B+F = D+H = 36-24 = 12 = 4+8 = 5+7
Digits 1236 is missing, thus ACEG = 1236 (BFDH took away 4578)

With symmetries (A=1, C<G), only 3 checks needed:

1 2 3(3)6
1 2 6(3)3
1(8)3(7)2(4)6 <= OK

When S = 13, B+F = D+H = 36-26 = 10 = 2+8 = 3+7 = 4+6
Digits 15 is missing, possible ACEG = 1528, 1537, 1546

1(7)5(6)2(3)8 <= OK
1 2 5(0)8
1 2 8(0)5

1 5(5)3 7
1 3(5)5 7
1 3(3)7 5

1 5(4)4 6
1 4(4)5 6
1(8)4(3)6(2)5 <= OK

Thus, we have 3 primary solutions:

183   175   184
5 7   4 6   7 3
642   832   526

Apply symmetries, total solutions = 3*16 = 48