Riemann's Zeta Function - another approach (RPL)

[Gerson W. Barbosa]

(06-27-2017 05:47 PM)Dieter Wrote:  

(06-27-2017 01:26 AM)Gerson W. Barbosa Wrote:  On the classic HP-15C:

Gerson, what about a program listing ?-)

Here it is:

Code:


[code]# --------------------------------------------
# HEWLETT·PACKARD 15C Simulator program
# Created with version 3.4.01
# --------------------------------------------
# --------------------------------------------

   000 {             } 
   001 {    42 21 11 } f LBL A
   002 {       44  3 } STO 3
   003 {           1 } 1
   004 {          30 } -
   005 {       43 11 } g x²
   006 {          11 } √x̅
   007 {          48 } .
   008 {           0 } 0
   009 {           4 } 4
   010 {          34 } x↔y
   011 {       43 10 } g x≤y
   012 {       22  1 } GTO 1
   013 {       45  3 } RCL 3
   014 {          36 } ENTER
   015 {          36 } ENTER
   016 {           1 } 1
   017 {          48 } .
   018 {           3 } 3
   019 {          16 } CHS
   020 {          14 } y^x
   021 {           7 } 7
   022 {           5 } 5
   023 {          20 } ×
   024 {           1 } 1
   025 {          40 } +
   026 {       43 44 } g INT
   027 {          36 } ENTER
   028 {          40 } +
   029 {       44 25 } STO I
   030 {       44  2 } STO 2
   031 {          34 } x↔y
   032 {          16 } CHS
   033 {       44  1 } STO 1
   034 {           0 } 0
   035 {       44  0 } STO 0
   036 {    42 21  0 } f LBL 0
   037 {       45 25 } RCL I
   038 {       45  1 } RCL 1
   039 {          14 } y^x
   040 {    44 30  0 } STO - 0
   041 {           1 } 1
   042 {    44 30 25 } STO - I
   043 {       45 25 } RCL I
   044 {       45  1 } RCL 1
   045 {          14 } y^x
   046 {    44 40  0 } STO + 0
   047 {    42  5 25 } f DSE I
   048 {       22  0 } GTO 0
   049 {       45  1 } RCL 1
   050 {          36 } ENTER
   051 {          40 } +
   052 {           1 } 1
   053 {          30 } -
   054 {       45  2 } RCL 2
   055 {       43 11 } g x²
   056 {           2 } 2
   057 {           4 } 4
   058 {          20 } ×
   059 {          10 } ÷
   060 {           1 } 1
   061 {    45 30  1 } RCL - 1
   062 {       45  2 } RCL 2
   063 {           8 } 8
   064 {          20 } ×
   065 {          10 } ÷
   066 {          48 } .
   067 {           5 } 5
   068 {          40 } +
   069 {    45 40  2 } RCL + 2
   070 {       45  1 } RCL 1
   071 {          14 } y^x
   072 {           2 } 2
   073 {          10 } ÷
   074 {    45 40  0 } RCL + 0
   075 {           2 } 2
   076 {       45  1 } RCL 1
   077 {          16 } CHS
   078 {          14 } y^x
   079 {          36 } ENTER
   080 {          36 } ENTER
   081 {           2 } 2
   082 {          30 } -
   083 {          10 } ÷
   084 {          20 } ×
   085 {       43 32 } g RTN
   086 {    42 21  1 } f LBL 1
   087 {       45  3 } RCL 3
   088 {           1 } 1
   089 {          30 } -
   090 {          15 } 1/x
   091 {       43 36 } g LSTx
   092 {          48 } .
   093 {           9 } 9
   094 {       43 36 } g LSTx
   095 {          20 } ×
   096 {           1 } 1
   097 {           3 } 3
   098 {          48 } .
   099 {           7 } 7
   100 {           3 } 3
   101 {           3 } 3
   102 {           4 } 4
   103 {           4 } 4
   104 {          40 } +
   105 {          10 } ÷
   106 {          48 } .
   107 {           5 } 5
   108 {           7 } 7
   109 {           7 } 7
   110 {           2 } 2
   111 {           1 } 1
   112 {           5 } 5
   113 {           6 } 6
   114 {           7 } 7
   115 {          40 } +
   116 {          40 } +
   117 {       43 32 } g RTN
   118 {    42 21 12 } f LBL B
   119 {          48 } .
   120 {           5 } 5
   121 {          34 } x↔y
   122 {    43 30  0 } g TEST x≠0
   123 {       22  2 } GTO 2
   124 {          34 } x↔y
   125 {          16 } CHS
   126 {       43 32 } g RTN
   127 {    42 21  2 } f LBL 2
   128 {       43 10 } g x≤y
   129 {       22  3 } GTO 3
   130 {       32 11 } GSB A
   131 {       43 32 } g RTN
   132 {    42 21  3 } f LBL 3
   133 {           1 } 1
   134 {          34 } x↔y
   135 {          30 } -
   136 {       44  4 } STO 4
   137 {       32 11 } GSB A
   138 {       43 26 } g π
   139 {          36 } ENTER
   140 {          40 } +
   141 {       45  4 } RCL 4
   142 {          14 } y^x
   143 {          10 } ÷
   144 {           1 } 1
   145 {    45 30  4 } RCL - 4
   146 {       43 26 } g π
   147 {          20 } ×
   148 {           2 } 2
   149 {          10 } ÷
   150 {       43  8 } g RAD
   151 {          23 } SIN
   152 {          20 } ×
   153 {           1 } 1
   154 {          16 } CHS
   155 {    45 40  4 } RCL + 4
   156 {       42  0 } f x!
   157 {          20 } ×
   158 {          36 } ENTER
   159 {          40 } +
   160 {       43 32 } g RTN

# --------------------------------------------

(06-27-2017 05:47 PM)Dieter Wrote:  Finally, here are some optimized simple approximations for 1 < x ≤ 1,01.

With u = x–1:

...

Zeta(x) ~ 1/u + u/(0,9 · u + 13,733437) + 0,5772156664
(error less than ±1 unit in the 12th significant digit)

The mentioned error bounds assume exact evaluation, i.e. with more digits than the target accuracy. Otherwise the resulting errors may be slightly larger.

That's what I'd been using, with your previous constants. As you've pointed out, we'd need more digits to take full advantage of that. Two extra digits as on the HP-12C Platinum would be nice. HP not truncating intermediate results to the number of digits in the display, at least when running a program, would also help. The simulator gives more accurate results, however.

Thanks again for your valuable suggestions and improvements!

Gerson.

Edited to remove attached file.