The following warnings occurred:
Warning [2] count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable - Line: 795 - File: showthread.php PHP 7.4.33 (FreeBSD)
File Line Function
/showthread.php 795 errorHandler->error





Post Reply 
(PC-12xx~14xx) qthsh Tanh-Sinh quadrature
03-28-2021, 02:02 PM (This post was last modified: 04-26-2022 12:23 AM by robve.)
Post: #1
(PC-12xx~14xx) qthsh Tanh-Sinh quadrature
TANH-SINH QUADRATURE and COMBINED TANH-SINH, EXP-SINH, SINH-SINH QUADRATURES
Estimate definite integral over open interval with improved and optimized Tanh-Sinh quadrature

Credit: Michalski & Mosig Tanh-Sinh rule, improved in this thread and in the accompanying technical paper
For details, see the technical paper: https://www.genivia.com/files/qthsh.pdf
See also: https://newtonexcelbach.com/2020/10/29/n...ure-v-5-0/

For SHARP PC-12xx to 14xx

373 bytes BASIC image (PC-1350) "qthsh" optimized Tanh-Sinh
936 bytes BASIC image (PC-1350) "quad" optimized combined Tanh-Sinh, Exp-Sinh, Sinh-Sinh

Precision: 1E-9 (adjustable)
Levels: N=6 (adjustable)

Example:
300 "F1" Y=4/(1+X*X): RETURN
RUN
f=F1
a=0
b=1
3.141592653
310 "F2" Y=ATN(1/X): RETURN
RADIAN
RUN
f=F2
a=0
b=1
1.131971754
320 "F3" Y=COS X*LN X: RETURN
RADIAN
RUN
f=F3
a=0
b=1
-9.460830706E-01
330 "F4" Y=X^-.8: RETURN
RUN
f=F4
a=0
b=1
5


Code:
' TANH-SINH QUADRATURE
' Estimate definite integral over open interval with improved and optimized Tanh-Sinh quadrature
' For SHARP PC-12xx to 14xx by Robert van Engelen
' Credit:
'   Michalski & Mosig Tanh-Sinh rule
' See also:
'   https://www.genivia.com/files/qthsh.pdf
'   https://newtonexcelbach.com/2020/10/29/numerical-integration-with-tanh-sinh-quadrature-v-5-0/

' Functions to integrate are defined with label "F1", "F2",... should return Y given X

' Algorithm:
'   double qthsh(double (*f)(double), double a, double b, double n, double eps) {
'     double c = (a+b)/2; // center (mean)
'     double d = (b-a)/2; // half distance
'     double s = f(c);
'     double e, v, h = 2;
'     int k = 0;
'     if (n <= 0) // use default levels n=6
'       n = 6; // 6 is optimal, 7 just as good taking longer
'     if (eps <= 0) // use default eps=1E=9
'       eps = 1E-9;
'     do {
'       double p = 0, q, fp = 0, fm = 0, t, eh;
'       h /= 2;
'       eh = exp(h);
'       t = eh;
'       if (k > 0)
'         eh *= eh;
'       do {
'         double u = exp(1/t-t);      // = exp(-2*sinh(j*h)) = 1/exp(sinh(j*h))^2
'         double r = 2*u/(1+u);       // = 1 - tanh(sinh(j*h))
'         double w = (t+1/t)*r/(1+u); // = cosh(j*h)/cosh(sinh(j*h))^2
'         double x = d*r;
'         if (a+x > a) {              // if too close to a then reuse previous fp
'           double y = f(a+x);
'           if (isfinite(y))
'             fp = y;                 // if f(x) is finite, add to local sum
'         }
'         if (b-x < b) {              // if too close to b then reuse previous fm
'           double y = f(b-x);
'           if (isfinite(y))
'             fm = y;                 // if f(x) is finite, add to local sum
'         }
'         q = w*(fp+fm);
'         p += q;
'         t *= eh;
'       } while (fabs(q) > eps*fabs(p));
'       v = s-p;
'       s += p;
'       ++k;
'     } while (fabs(v) > 10*eps*fabs(s) && k <= n);
'     e = fabs(v)/(fabs(s)+eps);
'     return d*s*h; // result with estimated relative error e
'   }

' VARIABLES
'  A,B     range
'  F$      function label to integrate
'  Y       result with error E
'  E       estimated relative error of the result
'  N       levels (up to 6 or 7)
'  C       (a+b)/2 center
'  D       (b-a)/2 half distance
'  H       step size h=2^-k
'  K       level counter
'  P,Q,S   quadrature sums
'  T       exp(j*h)
'  L       fp=f(a+x)
'  M       fm=f(b-x)
'  J,R,U,X scratch

100 "QTHSH" E=1E-9,N=6: INPUT "f=F";F$: F$="F"+F$
110 INPUT "a=";A
120 INPUT "b=";B
' init
130 C=(A+B)/2,D=(B-A)/2,X=C: GOSUB F$: S=Y,H=1,K=0
' outer loop
140 J=1,P=0,L=0,M=0
' inner loop
150 T=EXP(J*H),U=EXP(1/T-T),R=2*U/(1+U)
160 X=A+D*R: IF X>A GOSUB F$: L=Y
170 X=B-D*R: IF X<B GOSUB F$: M=Y
180 Q=(T+1/T)*R/(1+U)*(L+M),P=P+Q,J=J+1+(K>0)
190 IF ABS Q>E*ABS P GOTO 150
' exit inner loop
200 X=S-P,S=S+P,K=K+1
210 IF ABS X>10*E*ABS S IF K<=N LET H=H/2: GOTO 140
' exit outer loop, output result (and relative error estimate if >E)
220 Y=D*S*H,U=ABS X/(ABS S+E)
230 IF U>E LET E=U: PRINT Y,E: END
240 E=U: PRINT Y: END
' For machines with ON ERROR GOTO such as PC-1475, update the following:
' 100 "QTHSH" ON ERROR GOTO 290: E=1E-9,N=6: INPUT "f=F";F$: F$="F"+F$
' 160 X=A+D*R,Y=L: IF X>A GOSUB F$: L=Y
' 170 X=B-D*R,Y=M: IF X<B GOSUB F$: M=Y
' 290 IF ERN=2 RETURN

Code:
' COMBINED TANH-SINH, EXP-SINH, SINH-SINH QUADRATURE
' Estimate integral over open interval with improved Tanh-Sinh, Exp-Sinh and Sinh-Sinh quadratures
' For SHARP PC-12xx to 14xx by Robert van Engelen
' Credit:
'   Michalski & Mosig Tanh-Sinh rule
' See also:
'   https://www.genivia.com/files/qthsh.pdf
'   https://newtonexcelbach.com/2020/10/29/numerical-integration-with-tanh-sinh-quadrature-v-5-0/

' Functions to integrate are defined with label "F1", "F2",... should return Y given X

' Algorithm:
'   double quad(double (*f)(double), double a, double b, double n, double eps) {
'     double c = 0, d = 1, s, sign = 1, e, v, h = 2;
'     int k = 0, mode = 0; // Tanh-Sinh = 0, Exp-Sinh = 1, Sinh-Sinh = 2
'     if (b < a) { // swap bounds
'       v = b;
'       b = a;
'       a = v;
'       sign = -1;
'     }
'     if (isfinite(a) && isfinite(b)) {
'       c = (a+b)/2;
'       d = (b-a)/2;
'       v = c;
'     }
'     else if (isfinite(a)) {
'       mode = 1; // Exp-Sinh
'       c = a;
'       v = a+d;
'     }
'     else if (isfinite(b)) {
'       mode = 1; // Exp-Sinh
'       c = b;
'       v = b-d;
'       d = -d;
'       sign = -sign;
'     }
'     else {
'       mode = 2; // Sinh-Sinh
'       v = 0;
'     }
'     s = f(v);
'     do {
'       double p = 0, q, fp = 0, fm = 0, t, eh;
'       h /= 2;
'       t = eh = exp(h);
'       if (k > 0)
'         eh *= eh;
'       if (mode == 0) {                // Tanh-Sinh
'         do {
'           double u = exp(1/t-t);      // = exp(-2*sinh(j*h)) = 1/exp(sinh(j*h))^2
'           double r = 2*u/(1+u);       // = 1 - tanh(sinh(j*h))
'           double w = (t+1/t)*r/(1+u); // = cosh(j*h)/cosh(sinh(j*h))^2
'           double x = d*r;
'           if (a+x > a) {              // if too close to a then reuse previous fp
'             double y = f(a+x);
'             if (isfinite(y))
'               fp = y;                 // if f(x) is finite, add to local sum
'           }
'           if (b-x < b) {              // if too close to b then reuse previous fm
'             double y = f(b-x);
'             if (isfinite(y))
'               fm = y;                 // if f(x) is finite, add to local sum
'           }
'           q = w*(fp+fm);
'           p += q;
'           t *= eh;
'         } while (fabs(q) > eps*fabs(p));
'       }
'       else {
'         t /= 2;
'         do {
'           double r = exp(t-.25/t); // = exp(sinh(j*h))
'           double x, y, w = r;
'           q = 0;
'           if (mode == 1) {         // Exp-Sinh
'             x = c + d/r;
'             if (x == c)            // if x hit the finite endpoint then break
'               break;
'             y = f(x);
'             if (isfinite(y))       // if f(x) is finite, add to local sum
'               q += y/w;
'           }
'           else {                   // Sinh-Sinh
'             r = (r-1/r)/2;         // = sinh(sinh(j*h))
'             w = (w+1/w)/2;         // = cosh(sinh(j*h))
'             x = c - d*r;
'             y = f(x);
'             if (isfinite(y))       // if f(x) is finite, add to local sum
'               q += y*w;
'           }
'           x = c + d*r;
'           y = f(x);
'           if (isfinite(y))         // if f(x) is finite, add to local sum
'             q += y*w;
'           q *= t+.25/t;            // q *= cosh(j*h)
'           p += q;
'           t *= eh;
'         } while (fabs(q) > eps*fabs(p));
'       }
'       v = s-p;
'       s += p;
'       ++k;
'     } while (fabs(v) > 10*eps*fabs(s) && k <= n);
'     e = fabs(v)/(fabs(s)+eps);
'     return sign*d*s*h; // result with estimated relative error e
'   }

' VARIABLES
'  A,B     range, -9E99 and 9E99 are -inf and +inf
'  F$      function label to integrate
'  Y       result with error E
'  E       estimated relative error of the result
'  N       levels (up to 6 or 7)
'  C       center
'  D       half distance (Tanh-Sinh) or D=1 (Exp-Sinh)
'  G       sign
'  H       step size h=2^-k
'  K       level counter
'  P,Q,S   quadrature sums
'  T       exp(j*h)
'  L       f(x) point
'  M       f(x) point
'  J,R,U,X scratch

100 "QUAD" E=1E-9,N=6: INPUT "f=F";F$: F$="F"+F$
110 INPUT "a=";A
120 INPUT "b=";B
' init and swap bounds if b<a
130 D=1,G=1,H=1,K=0: IF B<A LET X=A,A=B,B=X,G=-1
140 IF ABS A<9E99 IF ABS B<9E99 GOTO 180
150 IF ABS A<9E99 LET C=A,X=A+D: GOTO 300
160 IF ABS B<9E99 LET C=B,X=B-D,D=-D,G=-G: GOTO 300
170 GOTO 400
' Tanh-Sinh
180 C=(A+B)/2,D=(B-A)/2,X=C: GOSUB F$: S=Y
' outer loop
190 J=1,P=0,L=0,M=0
' inner loop
200 T=EXP(J*H),U=EXP(1/T-T),R=2*U/(1+U)
210 X=A+D*R: IF X>A GOSUB F$: L=Y
220 X=B-D*R: IF X<B GOSUB F$: M=Y
230 Q=(T+1/T)*R/(1+U)*(L+M),P=P+Q,J=J+1+(K>0)
240 IF ABS Q>E*ABS P GOTO 200
' exit inner loop
250 X=S-P,S=S+P,K=K+1
260 IF ABS X>10*E*ABS S IF K<=N LET H=H/2: GOTO 190
' exit, output result (and relative error estimate if >E)
270 Y=G*D*S*H,U=ABS X/(ABS S+E)
280 IF U>E LET E=U: PRINT Y,E: END
290 E=U: PRINT Y: END
' Exp-Sinh
300 GOSUB F$: S=Y
' outer loop
310 J=1,P=0
' inner loop
320 T=EXP(J*H)/2,U=EXP(T-.25/T)
330 X=C+D/U: IF X=C GOTO 370
340 GOSUB F$: L=Y/U,X=C+D*U: GOSUB F$: M=Y*U
350 Q=(T+.25/T)*(L+M),P=P+Q,J=J+1+(K>0)
360 IF ABS Q>E*ABS P GOTO 320
' exit inner loop
370 X=S-P,S=S+P,K=K+1
380 IF ABS X>10*E*ABS S IF K<=N LET H=H/2: GOTO 310
390 GOTO 270
' Sinh-Sinh
400 X=0: GOSUB F$: S=Y
' outer loop
410 J=1,P=0
' inner loop
420 T=EXP(J*H)/2,U=EXP(T-.25/T)/2,R=U-.25/U
430 X=-R: GOSUB F$: L=Y,X=R: GOSUB F$: M=Y
440 Q=(T+.25/T)*(U+.25/U)*(L+M),P=P+Q,J=J+1+(K>0)
450 IF ABS Q>E*ABS P GOTO 420
' exit inner loop
460 X=S-P,S=S+P,K=K+1
470 IF ABS X>10*E*ABS S IF K<=N LET H=H/2: GOTO 410
480 GOTO 270
' For machines with ON ERROR GOTO such as PC-1475, update the following:
' 100 "QUAD" ON ERROR GOTO 490: E=1E-9,N=6: INPUT "f=F";F$: F$="F"+F$
' 210 X=A+D*R,Y=L: IF X>A GOSUB F$: L=Y
' 220 X=B-D*R,Y=M: IF X<B GOSUB F$: M=Y
' 490 IF ERN=2 RETURN

Edit: major update with the latest version.

"I count on old friends to remain rational"
Visit this user's website Find all posts by this user
Quote this message in a reply
Post Reply 


Messages In This Thread
(PC-12xx~14xx) qthsh Tanh-Sinh quadrature - robve - 03-28-2021 02:02 PM



User(s) browsing this thread: 1 Guest(s)